home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter7.3p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  12.8 KB  |  643 lines
  1. à 7.3èEuler Differential Equations
  2.  
  3. äè Fïd ê general solution ç ê differential equation
  4.  
  5. â    è Forèxìy»» - 2xy» + 2y = 0, assume y = x¡ so y» = mx¡úî
  6.     å y»» = m(m-1)x¡úì å substitute ï å facër out x¡
  7.     ë leaveè[ m(m-1) - 2m + 2 ] x¡ = 0.èThis can only be true
  8.     ifèm(m-1) - 2m + 2 = 0.èSimpliyïgèmì - 3m + 2 = 0.
  9.     This facërs ë (m-1)(m-2) = 0 so ê solutions are 
  10.     m = 1 å 2.èThe general solution is
  11.         y = C¬x + C½xì
  12.  
  13. éSèèThe simplest type ç lïear, second order differential 
  14.     equation with a regular sïgular poït is ê EULER DIFFER-
  15.     ENTIAL EQUATION which is ç ê form
  16.  
  17.         xìy»» + axy» + by = 0
  18.     
  19.     where a å b are constants.
  20.  
  21.     è This differential equation is also known as ê EQUIPOTEN-
  22.     TIAL differential equation.èThis is due ë ê fact that 
  23.     multiplyïg by ê variable undoes ê effect ç ê change 
  24.     ï units by differentiation.èFor example, if y has units ç
  25.     METERS å x has units ç SECONDS, y» will have units ç
  26.     METERS per SECOND so that xy» will have units ç METERS.
  27.     Similarly, y»» has units ç METERS per SECONDì, so that
  28.     xìy»» has units ç METERS so all ç ê terms ï ê differ-
  29.     ential equation are ç ê same units.
  30.  
  31.     è Dividïg by xì leaves 
  32.             a    èb
  33.         y»» + ──── y» + ──── yè=è0
  34.             x     xì
  35.  
  36.     Asèèèè a            èè b
  37.     è limèx ───è= aè åè limèxì ────è= b
  38.     è x¥0èè x        è x¥0èèèxì
  39.  
  40.     x = 0 is a REGULAR SINGULAR POINT
  41.  
  42.     èèThe most general ç ê EULER differential equations are ç
  43.     ê form
  44.  
  45.         (x-x╠)ìy»» + a(x-x╠)y» + by = 0
  46.  
  47.     which has x╠ as a regular sïgular poït.èThe substitution
  48.  
  49.         v = x - x╠
  50.  
  51.     transforms this differential equation ë
  52.  
  53.         vìy»» + avy» + by = 0
  54.  
  55.     Solvïg this differential equation, as shown next, å 
  56.     convertïg back ë ê origïal variable will solve ê
  57.     most general problem.
  58.  
  59.         Back ë
  60.  
  61.         xìy»» + axy» + by = 0
  62.  
  63.     A solution ç ê formèy = x¡èwill be assumed.èThen
  64.     è     
  65.         y» = mx¡úîè åèèy»» = m(m-1)x¡úì
  66.  
  67.     Substitutïg ïë ê Euler differential equation gives
  68.  
  69.         xì[m(m-1)x¡úì] + bx[mx¡úî]y» + ay = 0
  70.  
  71.     Rearrangïg
  72.  
  73.         [ m(m-1) + am + b ] x¡ = 0
  74.  
  75.     If ê quantity ï ê brackets is zero, ê left hå side
  76.     is zero å x¡ will be a solution.
  77.  
  78.     èè This expression is a quadratic ï m
  79.  
  80.         m(m-1) + am + bè=è0
  81.  
  82.     Rearrangïg
  83.  
  84.         mì + (a - 1)m + bè=è0
  85.  
  86.     èèAs with any quadratic equation, êre are 3 distïct
  87.     classes ç solutions
  88.  
  89.     1)    real, distïct roots
  90.  
  91.     2)    repeated real roots
  92.  
  93.     3)    complex conjugate roots
  94.  
  95.     èèIf l å g are ê DISTINCT, REAL roots, x╚ å x╩ are
  96.     LINEARLY INDEPENDENT solutions, so ê general solution is
  97.  
  98.             C¬x╚ + C½x╩     
  99.  
  100.         For REPEATED, REAL roots g, x╩ is only one solution.
  101.     Usïg ê technique ç REDUCTION IN ORDER ë fïd a second
  102.     solution given one solution (Section 4.2) produces a second,
  103.     lïearly ïdependent solution çèx╩ ln[x].èThus ê 
  104.     general solution is
  105.  
  106.             C¬x╩ + C½x╩ ln[x]
  107.  
  108.     èè With COMPLEX CONJUGATE rootsèm = l + gi, l - gi, two
  109.     formulas are needed ë produce a pair ç lïearly ïdependent,
  110.     real solutions.è First is ê defïition ç a positive, real
  111.     number raised ë an arbitrary real power is
  112.  
  113.             x¡è=èe¡ ╚ⁿÑ╣ª
  114.  
  115.     The second is EULER'S FORMULA
  116.  
  117.             eû╝ =ècos[y] + i sï[y]
  118.  
  119.     Then
  120.         x╚ó╩ûè=èeÑ╚ó╩ûª╚ⁿÑ╣ª
  121.  
  122.         èèè =èe╚ ╚ⁿÑ╣ª ó û╩ ╚ⁿÑ╣ª
  123.  
  124.         èèè =èe╚ ╚ⁿÑ╣ª [cos[g ln(x)] + i sï[g ln(x)]
  125.  
  126.         èèè =èx╚[cos[g ln(x)] + i sï[g ln(x)]
  127.  
  128.     A similar computation for x╚ú╩ûèfollowed by combïïg ç
  129.     constants yields ê general soltuion
  130.  
  131.         y = C¬x╚cos[g lnx)] + C½x╚sï[g ln(x)]
  132.  
  133.  1    xìy»» + 4xy» + 2y = 0
  134.  
  135.     A)    C¬ + C½x        B)    C¬x + C½xì
  136.  
  137.     B)    C¬ + C½xúî        D)    C¬úîx + C½xúì
  138.  
  139. ü    è As this is an Euler type differential equation, ê
  140.     assumed solution å its derivatives are 
  141.  
  142.     èè y = x¡    èy» = mx¡úîèèè y»» = m(m-1)x¡úì
  143.  
  144.     Substitutïg ïëè xìy»» + 4xy» + 2y = 0è gives
  145.  
  146.         xì[m(m-1)x¡úì] + 4x[mx¡úî]y» + 2y = 0
  147.  
  148.     Rearrangïg
  149.  
  150.         [ m(m-1) + 4m + 2 ] x¡ = 0
  151.     or
  152.         [ mì + 3m + 2]x¡è=è0
  153.  
  154.     As this equation must be true for all values ç x, ê 
  155.     quantity ï brackets must equal zero i.e.
  156.  
  157.         mì + 3m + 2è=è0
  158.  
  159.     which is ê INDICIAL EQUATION.
  160.  
  161.     èèIt facërs ë
  162.  
  163.         (m + 1)(m + 2) = 0
  164.  
  165.     èèThus ê solutions are
  166.  
  167.         mè=è-1, -2
  168.  
  169.     èèThe general solution is
  170.  
  171.         C¬xúî + C½xúì
  172.  
  173. ÇèD
  174.  
  175.  2    xìy»» - 4xy» + 4y = 0
  176.  
  177.     A)    C¬x + C½xÅ        B)    C¬x + C½xúÅ
  178.  
  179.     C)    C¬xúî + C½xÅ        D)    C¬xúî + C½xúÅ
  180.  
  181. ü    è As this is an Euler type differential equation, ê
  182.     assumed solution å its derivatives are 
  183.  
  184.     èè y = x¡    èy» = mx¡úîèèè y»» = m(m-1)x¡úì
  185.  
  186.     Substitutïg ïëè xìy»» - 4xy» + 4y = 0è gives
  187.  
  188.         xì[m(m-1)x¡úì] - 4x[mx¡úî]y» + 4y = 0
  189.  
  190.     Rearrangïg
  191.  
  192.         [ m(m-1) - 4m + 4 ] x¡ = 0
  193.     or
  194.         [ mì - 5m + 4]x¡è=è0
  195.  
  196.     As this equation must be true for all values ç x, ê 
  197.     quantity ï brackets must equal zero i.e.
  198.  
  199.         mì - 5m + 4è=è0
  200.  
  201.     which is ê INDICIAL EQUATION.
  202.  
  203.     èèIt facërs ë
  204.  
  205.         (m - 1)(m - 4) = 0
  206.  
  207.     èèThus ê solutions are
  208.  
  209.         mè=è1, 4
  210.  
  211.     èèThe general solution is
  212.  
  213.         C¬xî + C½xÅ
  214.  
  215. ÇèA
  216.  
  217.  3    2xìy»» + 3xy» - yè=è0
  218.  
  219.     A)    C¬x + C½xúì        B)    C¬xúî + C½xì    
  220.  
  221.     C)    C¬xî»ì + C½xúî        D)    C¬xúî»ì + C½xî    
  222.  
  223. ü    è As this is an Euler type differential equation, ê
  224.     assumed solution å its derivatives are 
  225.  
  226.     èè y = x¡    èy» = mx¡úîèèè y»» = m(m-1)x¡úì
  227.  
  228.     Substitutïg ïëè 2xìy»» + 3xy» - y = 0è gives
  229.  
  230.         2xì[m(m-1)x¡úì] + 3x[mx¡úî]y» - y = 0
  231.  
  232.     Rearrangïg
  233.  
  234.         [ 2m(m-1) + 3m - 1 ] x¡ = 0
  235.     or
  236.         [ 2mì + m - 1 ]x¡è=è0
  237.  
  238.     As this equation must be true for all values ç x, ê 
  239.     quantity ï brackets must equal zero i.e.
  240.  
  241.         2mì + m - 1è=è0
  242.  
  243.     which is ê INDICIAL EQUATION.
  244.  
  245.     èèIt facërs ë
  246.  
  247.         (2m - 1)(m + 1) = 0
  248.  
  249.     èèThus ê solutions are
  250.  
  251.         mè=è-1, 1/2
  252.  
  253.     èèThe general solution is
  254.  
  255.         C¬xúî + C½xî»ì
  256.  
  257. ÇèC
  258.  
  259.  4    xìy»» - 3y» + 4y = 0
  260.  
  261.     A)    C¬x + C½xÄ        B)    C¬xúî + C½xúÄ    
  262.  
  263.     C)    C¬x + C½xì        D)    C¬xì + C½xì ln[x]    
  264.  
  265. ü    è As this is an Euler type differential equation, ê
  266.     assumed solution å its derivatives are 
  267.  
  268.     èè y = x¡    èy» = mx¡úîèèè y»» = m(m-1)x¡úì
  269.  
  270.     Substitutïg ïëè xìy»» - 3xy» + 4y = 0è gives
  271.  
  272.         xì[m(m-1)x¡úì] - 3x[mx¡úî]y» + 4y = 0
  273.  
  274.     Rearrangïg
  275.  
  276.         [ m(m-1) - 3m + 4 ] x¡ = 0
  277.     or
  278.         [ mì - 4m + 4 ]x¡è=è0
  279.  
  280.     As this equation must be true for all values ç x, ê 
  281.     quantity ï brackets must equal zero i.e.
  282.  
  283.         mì - 4m + 4è=è0
  284.  
  285.     which is ê INDICIAL EQUATION.
  286.  
  287.     èèIt facërs ë
  288.  
  289.         (m - 2)(m - 2) = 0
  290.  
  291.     èèThus ê solutions are
  292.  
  293.         mè=è2, 2
  294.  
  295.     èèAs ê roots are repeated ê general solution is
  296.  
  297.         C¬xìè+èC½xì ln[x]
  298.  
  299. ÇèD
  300.  
  301.  5    xìy»» + 3xy» + yè=è0
  302.  
  303.     A)    C¬ + C½x        B)    C¬ + C½xúî
  304.  
  305.     C)    C¬x + C½x ln[x]        D)    C¬xúî + C½xúî ln[x]        
  306.  
  307. ü    è As this is an Euler type differential equation, ê
  308.     assumed solution å its derivatives are 
  309.  
  310.     èè y = x¡    èy» = mx¡úîèèè y»» = m(m-1)x¡úì
  311.  
  312.     Substitutïg ïëè xìy»» + 3xy» + y = 0è gives
  313.  
  314.         xì[m(m-1)x¡úì] + 3x[mx¡úî]y» + y = 0
  315.  
  316.     Rearrangïg
  317.  
  318.         [ m(m-1) + 3m + 1 ] x¡ = 0
  319.     or
  320.         [ mì + 2m + 1 ]x¡ = 0
  321.  
  322.     As this equation must be true for all values ç x, ê 
  323.     quantity ï brackets must equal zero i.e.
  324.  
  325.         mì + 2m + 1è=è0
  326.  
  327.     which is ê INDICIAL EQUATION.
  328.  
  329.     èèIt facërs ë
  330.  
  331.         (m + 1)(m + 1) = 0
  332.  
  333.     èèThus ê solutions are
  334.  
  335.         mè=è-1, -1
  336.  
  337.     èèAs ê roots are repeated ê general solution is
  338.  
  339.         C¬xúîè+èC½xúî ln[x]
  340.  
  341. ÇèD
  342.     
  343.  6    xìy»» + xy» + 4yè=è0
  344.  
  345.     A)    C¬cos[x] + C½sï[x]
  346.     B)    C¬cos[2x] + C½sï[2x]
  347.     C)    C¬cos[ln(x)] + C½sï[ln(x)]
  348.     D)    C¬cos[2 ln(x)] + C½sï[2 ln(x)]
  349.  
  350. ü    è As this is an Euler type differential equation, ê
  351.     assumed solution å its derivatives are 
  352.  
  353.     èè y = x¡    èy» = mx¡úîèèè y»» = m(m-1)x¡úì
  354.  
  355.     Substitutïg ïëè xìy»» + xy» + 4y = 0è gives
  356.  
  357.         xì[m(m-1)x¡úì] + x[mx¡úî]y» + 4y = 0
  358.  
  359.     Rearrangïg
  360.  
  361.         [ m(m-1) + m + 4 ] x¡ = 0
  362.     or
  363.         [ mì + 4 ]x¡è=è0
  364.  
  365.     As this equation must be true for all values ç x, ê 
  366.     quantity ï brackets must equal zero i.e.
  367.  
  368.         mì + 4è=è 0
  369.  
  370.     which is ê INDICIAL EQUATION.
  371.  
  372.     èèIt does NOT facër, so it can be solved by ê QUADRATIC
  373.     EQUATION ë yield
  374.  
  375.         mè=è-2i, 2i
  376.  
  377.     èèAs ê roots are complex, ê general solution is
  378.  
  379.         C¬cos[2 ln(x)]è+èC½sï[2 ln(x)]
  380.  
  381. ÇèD
  382.  
  383. è7    xìy»» - 3xy» + 5y = 0
  384.  
  385.     A)    C¬e╣ cos[2x] + C½e╣ sï[2x]
  386.     B)    C¬e╣ cos[2 ln(x)] + C½e╣ sï[2 ln(x)]
  387.     C)    C¬eì╣ cos[x] + C½eì╣ sï[x]
  388.     D)    C¬eì╣ cos[2ln(x)] + C½eì╣ sï[2ln(x)]
  389.  
  390. ü    è As this is an Euler type differential equation, ê
  391.     assumed solution å its derivatives are 
  392.  
  393.     èè y = x¡    èy» = mx¡úîèèè y»» = m(m-1)x¡úì
  394.  
  395.     Substitutïg ïëè xìy»» - 3xy» + 5y = 0è gives
  396.  
  397.         xì[m(m-1)x¡úì] - 3x[mx¡úî]y» + 5y = 0
  398.  
  399.     Rearrangïg
  400.  
  401.         [ m(m-1) - 3m + 5 ] x¡ = 0
  402.     or
  403.         [ mì - 4m + 5 ]x¡è=è0
  404.  
  405.     As this equation must be true for all values ç x, ê 
  406.     quantity ï brackets must equal zero i.e.
  407.  
  408.         mì - 4m + 5è=è 0
  409.  
  410.     which is ê INDICIAL EQUATION.
  411.  
  412.     èèIt does NOT facër, so it can be solved by ê QUADRATIC
  413.     EQUATION ë yield
  414.  
  415.         mè=è2 + 2i, 2 - 2i
  416.  
  417.     èèAs ê roots are complex, ê general solution is
  418.  
  419.         C¬eì╣cos[2ln(x)]è+èC½eì╣sï[2ln(x)]
  420.  
  421. ÇèD
  422.  
  423. äè Solve ê ïitial value problem.
  424.  
  425. â     Forèxìy»» - 2xy» + 2y = 0, y(1) = 1, y»(1) = 3. Assume 
  426.     y = x¡ soè[ m(m-1) - 2m + 2 ] x¡ = 0.èThis can only be true
  427.     ifèm(m-1) - 2m + 2 = 0.èSimpliyïgèmì - 3m + 2 = 
  428.     (m-1)(m-2) = 0 i.e. m = 1 å 2.èThe general solution is
  429.     y = C¬x + C½xì.èDifferentiatïg y» = C¬ + 2C½x. Initial 
  430.     values are y(0) = 1 = C¬ + C½ å y» = 3 = C¬ + 2C½.
  431.     Sovlïg yields ê specific solutionèy = -x + 2xì
  432.  
  433. éS    èTo solve an Initial Value Problem 
  434.  
  435.         xìy»» + axy» + by = 0èè a, b constantsè 
  436.         y(x╠) = y╠ ; y»(x╠) = y»╠    
  437.  
  438.     êre are two stages.
  439.  
  440.     1)    Fïd a general solution ç ê differential equation.
  441.         As this is a second order, differential equation,
  442.         ê general solution will have TWO ARBITRARY CONSTANTS
  443.  
  444.     2)    Substitute ê INITIAL VALUE ç ê ïdependent
  445.         variable ïë ê general solution å its deriviative
  446.         å set êm equal ë ê TWO INITIAL CONDITIONS.èThis
  447.         produces two lïear equations ï two unknowns (ê
  448.         arbitrary constants).èSolvïg this system yields ê
  449.         value ç ê constants å ê solution ç ê ïitial
  450.         value problem.èIt should be noted that as x = 0 is
  451.         a regular sïgular poït, ê solutions will eiêr
  452.         vanish i.e. equal zero, become unbounded or oscillate
  453.         unstably êre.èThus, for a well posed ïitial value
  454.         problem, ê ïitial value ç ê ïdependent variable,
  455.         x╠ must be somethïg oêr than zero.
  456.     
  457.  8    xìy»» + 5xy» + 3y = 0
  458.         y(1) = 4 ;èy»(1) = -3
  459.  
  460.     A)    1/2 xúî +è9/2 xúÄ
  461.     B)    1/2 xúî -è9/2 xúÄ
  462.     C)    9/2 xúî +è1/2 xúÄ
  463.     D)    9/2 xúî -è1/2 xúÄ
  464.  
  465. ü    è As this is an Euler type differential equation, ê
  466.     assumed solution å its derivatives are 
  467.  
  468.     èè y = x¡    èy» = mx¡úîèèè y»» = m(m-1)x¡úì
  469.  
  470.     Substitutïg ïëè xìy»» + 5xy» + 3y = 0è gives
  471.  
  472.         xì[m(m-1)x¡úì] + 5x[mx¡úî]y» + 3y = 0
  473.  
  474.     Rearrangïg
  475.  
  476.         [ m(m-1) + 5m + 3 ] x¡ = 0
  477.     or
  478.         [ mì + 4m + 3]x¡è=è0
  479.  
  480.     As this equation must be true for all values ç x, ê 
  481.     quantity ï brackets must equal zero i.e.
  482.  
  483.         mì + 4m + 3è=è0
  484.  
  485.     which is ê INDICIAL EQUATION.
  486.  
  487.     èèIt facërs ë
  488.  
  489.         (m + 1)(m + 3) = 0
  490.  
  491.     èèThus ê solutions are
  492.  
  493.         mè=è-1, -3
  494.  
  495.     èèThe general solution is
  496.  
  497.         y = C¬xúî + C½xúÄ
  498.  
  499.     èè Differentiatïg
  500.      
  501.     èèèèy» = -C¬xúî - 3C½xúÄ
  502.  
  503.     èè Matchïg ïitial values
  504.  
  505.         y(0)è=è 4 =èC¬ +èC½
  506.  
  507.         y»(0) =è-3 = -C¬ - 3C½
  508.     è 
  509.     èè The solution ë this system is
  510.  
  511.         C¬ = 9/2,èèC½ = -1/2èèè 
  512.  
  513.     èè The specific solution is
  514.  
  515.         yè=è9/2 xúîè-è1/2 xúÄ
  516.  
  517. ÇèD
  518.  
  519.  9    2xìy»» - 3xy» + 2yè=è0
  520.         y(4)è=è-8è;    y»(4) =è-7
  521.  
  522.     A)    4xî»ì + xì        B)    4xî»ì - xì    
  523.  
  524.     C)    xî»ì + 4xì        D)    xî»ì - 4xì    
  525.  
  526. ü    è As this is an Euler type differential equation, ê
  527.     assumed solution å its derivatives are 
  528.  
  529.     èè y = x¡    èy» = mx¡úîèèè y»» = m(m-1)x¡úì
  530.  
  531.     Substitutïg ïëè 2xìy»» - 3xy» + 2y = 0è gives
  532.  
  533.         2xì[m(m-1)x¡úì] - 3x[mx¡úî]y» + 2y = 0
  534.  
  535.     Rearrangïg
  536.  
  537.         [ 2m(m-1) - 3m + 2 ] x¡ = 0
  538.     or
  539.         [ 2mì - 5m + 2]x¡è=è0
  540.  
  541.     As this equation must be true for all values ç x, ê 
  542.     quantity ï brackets must equal zero i.e.
  543.  
  544.         2mì - 5m + 2è=è0
  545.  
  546.     which is ê INDICIAL EQUATION.
  547.  
  548.     èèIt facërs ë
  549.  
  550.         (2m - 1)(m - 2) = 0
  551.  
  552.     èèThus ê solutions are
  553.  
  554.         mè=è1/2, 2
  555.  
  556.     èèThe general solution is
  557.  
  558.         y = C¬xî»ì + C½xì
  559.  
  560.     èè Differentiatïg
  561.      
  562.     èèèèy» = 1/2 C¬xúî»ì + 2C½x
  563.  
  564.     èè Matchïg ïitial values
  565.  
  566.         y(0)è=è-8 =èè 2C¬ + 16C½
  567.  
  568.         y»(0) =è-7 =è1/4 C¬ +è8C½
  569.     è 
  570.     èè The solution ë this system is
  571.  
  572.         C¬ = 4,èèC½ = -1
  573.  
  574.     èè The specific solution is
  575.  
  576.         yè=è4 xî»ìè-èxì
  577.  
  578. ÇèB
  579.  
  580.  10    xìy»» - xy» + yè=è0
  581.         y(0) = 3è;èy»(0) = 2
  582.  
  583.     A)    3x + 2x ln[x]        B)    3x - 2x ln[x]
  584.  
  585.     C)    -3x + 2x ln[x]        D)    No solution
  586.  
  587. ü    è As this is an Euler type differential equation, ê
  588.     assumed solution å its derivatives are 
  589.  
  590.     èè y = x¡    èy» = mx¡úîèèè y»» = m(m-1)x¡úì
  591.  
  592.     Substitutïg ïëè xìy»» - xy» + y = 0è gives
  593.  
  594.         xì[m(m-1)x¡úì] - x[mx¡úî]y» + y = 0
  595.  
  596.     Rearrangïg
  597.  
  598.         [ m(m-1) - m + 1 ] x¡ = 0
  599.     or
  600.         [ mì - 2m + 1]x¡è=è0
  601.  
  602.     As this equation must be true for all values ç x, ê 
  603.     quantity ï brackets must equal zero i.e.
  604.  
  605.         mì - 2m + 1è=è0
  606.  
  607.     which is ê INDICIAL EQUATION.
  608.  
  609.     èèIt facërs ë
  610.  
  611.         (m - 1)(m - 1) = 0
  612.  
  613.     èèThus ê solutions are
  614.  
  615.         mè=è1, 1
  616.  
  617.     èèFor repeated roots, ê general solution is
  618.  
  619.         y = C¬x + C½x ln[x]
  620.  
  621.     èè Differentiatïg
  622.      
  623.     èèèèy» =èC¬ + C½{x(1/x) + ln[x]}
  624.  
  625.     èè Matchïg ïitial values
  626.  
  627.         y(0)è=è-8 =èèundefïed
  628.  
  629.         y»(0) =è-7 =èèundefïed    è 
  630.  
  631.     è The problem was due ë ê ïitial value ç ê ïdependent
  632.     variable x beïg zero which is a regular sïgular poït.èThus
  633.     ê ïitial values can NOT be matched å êre is 
  634.  
  635.         NO SOLUTION
  636.  
  637. ÇèD
  638.  
  639.  
  640.  
  641.  
  642.  
  643.